Série
Harmônica
Na matemática, uma série é a somatória (representada pelo símbolo \( \sum \)) dos elementos de uma sequência. No caso da série harmônica, a sequência é construída a partir da adição, a cada novo termo, de uma unidade \((1, 2, 3, \dotsb )\) ao \(n\) da fração \(\displaystyle\frac{1}{n}\), começando pelo número \(1\).
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{n} + \dotsb$$
De fato, os termos da sequência vão diminuindo, mas isso não impede que a somatória atinja qualquer valor. É justamente o que vamos demonstrar nos próximos desafios: leve o caracol para diferentes somatórias e perceber que ele pode chegar a qualquer lugar, ainda que sua caminhada se torne longa e demorada…
Desafio 1
$$ \sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=4 $$
Veja, na corrida de caracóis, quantos termos são necessários para que a série harmônica chegue à soma 4.
Para acelerar seu caracol, aperte a seta para frente. Assim que começar, ele andará um termo na série.
Dica:
A velocidade do seu adversário é medida pelo espaço de tempo entre o seu primeiro e segundo comando. Quanto mais comandos, mais seu caracol caminha (embora seus "passos" fiquem menores...).
Continue firme que ele chegará no "4"!
Você começou rápido, mas parece que foi perdendo o fôlego aos poucos..
Isso é porque os termos cada vez menores da série harmônica dão a impressão de que a soma nunca vai chegar. Mas chegou, não é?
Vamos andar um pouco mais?
\(x = 1\)
\(x = 4\)
Pressione
para colocar seu caracol em ação harmônica!
Desafio 2
$$ \sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=5 $$
E se aumentarmos apenas um número inteiro à soma?
Agora você não tem mais adversário. Siga tranquilo em sua viagem até a soma 5. Tem ideia de quantos termos vamos adicionar na série harmônica até chegarmos lá?
Uau, você precisou avançar
52 termos
só entre a soma 4 e 5! Isso é mais do que o total caminhado no desafio anterior!
Ficou cansado? Então, vamos continuar de outra forma.
\(x = 1\)
\(x = 4\)
Pressione
para colocar seu caracol em ação harmônica!
Desafio 3
$$ \sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=9 $$
Adivinhe o total de termos da soma 9.
Você já sabe que na série harmônica da soma 5 há 83 termos. Será que na da soma 9 encontraremos muitos mais? Altere o campo de \(x\) até encontrar o valor correto (e fique tranquilo(a), nós vamos ajudar você com dicas).
4550 termos! A soma nem tem dois dígitos e o total de termos já tem quatro! Imagine que trabalhoso seria para o caracol chegar a 20, por exemplo.
Insira um valor de \(x\) para ver uma dica.
\(\sum\): 9, \(x\):
Desafio 4
$$ \sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=20 $$
Adivinhe o total de termos da soma 20.
Agora ficou bem difícil! Estamos falando de milhões de termos!
Você pode descobrir o valor correto só com as dicas, mas também pode colar da tabela de consulta que disponibilizamos no botão a seguir.
| \(\sum\) | \(x\) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 11 |
| 4 | 31 |
| 5 | 83 |
| 6 | 227 |
| 7 | 616 |
| 8 | 1674 |
| 9 | 4550 |
| 10 | 12367 |
| 11 | 33617 |
| 12 | 91380 |
| 13 | 248397 |
| 14 | 675214 |
| 15 | 1835421 |
| 16 | 4989191 |
| 17 | 13562027 |
| 18 | 36865412 |
| 19 | 100210581 |
| 20 | 272400600 |
272 milhões, 400 mil e 600 termos! O caracol estaria rico se cada um desses termos valesse 1 centavo.
Insira um valor de \(n\) para ver uma dica.
\(\sum\): 20, \(n\):
Desafio 5
Agora, a pergunta mais importante de todas.
Para chegar até aqui, você provavelmente aprendeu muito sobre série harmônica. Será que é a capaz de reconhecer a principal característica dela? Afinal, a soma da série harmônica é finita ou infinita? Pense bem antes de responder.
Falamos que a somatória é infinita porque é capaz de atingir qualquer valor, por maior que ele seja. Quando isso ocorre, chamamos a série de divergente (afinal, ela não converge para nenhum valor real específico).