Série
Harmônica

Na matemática, uma série é a somatória (representada pelo símbolo $\sum$ ) dos elementos de uma sequência. No caso da série harmônica, a sequência é construída a partir da adição, a cada novo termo, de uma unidade $(1, 2, 3, \dotsb )$ ao $n$ da fração $\displaystyle\frac{1}{n}$ , começando pelo número $1$ .

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{n} + \dotsb$

De fato, os termos da sequência vão diminuindo, mas isso não impede que a somatória atinja qualquer valor. É justamente o que vamos demonstrar nos próximos desafios: leve o caracol para diferentes somatórias e perceber que ele pode chegar a qualquer lugar, ainda que sua caminhada se torne longa e demorada…

Veja, na corrida de caracóis, quantos termos são necessários para que a série harmônica chegue à soma 4.

Para acelerar seu caracol, aperte a seta para frente. Assim que começar, ele andará um termo na série.
Dica: A velocidade do seu adversário é medida pelo espaço de tempo entre o seu primeiro e segundo comando. Quanto mais comandos, mais seu caracol caminha (embora seus "passos" fiquem menores...).
Continue firme que ele chegará no "4"!

Você começou rápido, mas parece que foi perdendo o fôlego aos poucos.. Isso é porque os termos cada vez menores da série harmônica dão a impressão de que a soma nunca vai chegar. Mas chegou, não é?
Vamos andar um pouco mais?

$\sum1$

$x = 1$

$\sum2$

$x = 4$

$\sum3$

$x = 11$

$\sum4$

$x = 31$

Pressione Seta para frente para colocar seu caracol em ação harmônica!

$\sum:$ 0,

$x:$ 0

Ilustração de um caracol com olhos escuros, corpo laranja e casco marrom

Ilustração de um caracol com olhos escuros, corpo roxo claro e casco roxo escuro

E se aumentarmos apenas um número inteiro à soma?

Agora você não tem mais adversário. Siga tranquilo em sua viagem até a soma 5. Tem ideia de quantos termos vamos adicionar na série harmônica até chegarmos lá?

Uau, você precisou avançar 52 termos só entre a soma 4 e 5! Isso é mais do que o total caminhado no desafio anterior!
Ficou cansado? Então, vamos continuar de outra forma.

$\sum1$

$x = 1$

$\sum2$

$x = 4$

$\sum3$

$x = 11$

$\sum4$

$x = 31$

$\sum5$

$x = 83$

Pressione Seta para frente para colocar seu caracol em ação harmônica!

$\sum:$ 0,

$x:$ 0

Adivinhe o total de termos da soma 9.

Você já sabe que na série harmônica da soma 5 há 83 termos. Será que na da soma 9 encontraremos muitos mais? Altere o campo de $x$ até encontrar o valor correto (e fique tranquilo(a), nós vamos ajudar você com dicas).

4550 termos! A soma nem tem dois dígitos e o total de termos já tem quatro! Imagine que trabalhoso seria para o caracol chegar a 20, por exemplo.

Insira um valor de $x$ para ver uma dica.

$\sum$ : 9, $x$ :

Adivinhe o total de termos da soma 20.

Agora ficou bem difícil! Estamos falando de milhões de termos!
Você pode descobrir o valor correto só com as dicas, mas também pode colar da tabela de consulta que disponibilizamos no botão a seguir.

$\sum$	$x$
1	1
2	4
3	11
4	31
5	83
6	227
7	616
8	1674
9	4550
10	12367
11	33617
12	91380
13	248397
14	675214
15	1835421
16	4989191
17	13562027
18	36865412
19	100210581
20	272400600

272 milhões, 400 mil e 600 termos! O caracol estaria rico se cada um desses termos valesse 1 centavo.

Insira um valor de $n$ para ver uma dica.

$\sum$ : 20, $n$ :

Desafio 5

Agora, a pergunta mais importante de todas.

Para chegar até aqui, você provavelmente aprendeu muito sobre série harmônica. Será que é a capaz de reconhecer a principal característica dela? Afinal, a soma da série harmônica é finita ou infinita? Pense bem antes de responder.

Falamos que a somatória é infinita porque é capaz de atingir qualquer valor, por maior que ele seja. Quando isso ocorre, chamamos a série de divergente (afinal, ela não converge para nenhum valor real específico).

Série
Harmônica

Desafio 1

$\sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=4$

Veja, na corrida de caracóis, quantos termos são necessários para que a série harmônica chegue à soma 4.

Desafio 2

$\sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=5$

E se aumentarmos apenas um número inteiro à soma?

Desafio 3

$\sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=9$

Adivinhe o total de termos da soma 9.

Desafio 4

$\sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=20$

Adivinhe o total de termos da soma 20.

Desafio 5

Agora, a pergunta mais importante de todas.

A somatória é finita?

SérieHarmônica

Desafio 1

x∑n=11n=4 \sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=4

Veja, na corrida de caracóis, quantos termos são necessários para que a série harmônica chegue à soma 4.

Desafio 2

x∑n=11n=5 \sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=5

E se aumentarmos apenas um número inteiro à soma?

Desafio 3

x∑n=11n=9 \sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=9

Adivinhe o total de termos da soma 9.

Desafio 4

x∑n=11n=20 \sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=20

Adivinhe o total de termos da soma 20.

Desafio 5

Agora, a pergunta mais importante de todas.

A somatória é finita?

Série
Harmônica

$\sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=4$

$\sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=5$

$\sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=9$

$\sum_{n=1}^{x}\frac{1}{n}=20$