O DIAGRAMA DE VENN
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O Diagrama de Venn tem esse nome em homenagem ao matemático John Venn que o criou no século XIX. Trata-se de uma ferramenta muito útil para representar relações entre conjuntos (união e interseção), bem como para resolver alguns problemas de probabilidade e estatística e até mesmo de lógica.
O diagrama utiliza círculos sobrepostos que permitem ilustrar as relações entre conjuntos. Veja a seguir.
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Conjunto dos elementos que pertencem apenas a A.
As oito regiões distintas que definem o diagrama, conforme você viu anteriormente, podem ser combinadas de 256 (28) maneiras diferentes e formar outros conjuntos. Caso queira entender este cálculo, clique aqui. Abaixo, apresentamos alguns deles a título de explicação.
1. Conjunto de todos os elementos que pertencem a A. Observe que reunimos quatro regiões para obtê-lo.
Veja a seguir como utilizar o Diagrama de Venn para resolver problemas.
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Problema 1 - A avaliação de Cálculo
- 60 alunos acertaram as três questões.
- 130 alunos acertaram a Questão 1 e a Questão 2.
- 200 alunos acertaram a Questão 1 e a Questão 3.
- 150 alunos acertaram a Questão 2 e a Questão 3.
- 290 alunos acertaram a Questão 1.
- 230 alunos acertaram a Questão 2.
- 300 alunos acertaram a Questão 3.
- 40 alunos não acertaram nenhuma questão.
Sobre uma avaliação de Cálculo que continha 3 questões, sabe-se que:
Pergunta: Quantos alunos fizeram a prova?
Solução:
Observe que os alunos que acertaram a Questão 1 somam 290 alunos, mas destes já sabemos que 60 acertaram as três questões, 140 acertaram as questões 1 e 3 e 70 acertaram as questões 1 e 2. Assim, fazendo: 290 - 60 - 140 - 70 = 20. Logo, 20 alunos acertaram apenas a Questão 1.
Pelo mesmo raciocínio, note: os alunos que acertaram a Questão 2 somam 230, destes 60 acertaram as três questões, 70 acertaram as questões 1 e 2 e 90 acertaram as questões 2 e 3. Assim, fazendo: 230 - 60 - 70 - 90 = 10. Logo, 10 alunos acertaram apenas a Questão 2.
Por sua vez, os alunos que acertaram a Questão 3 somam 300 alunos, mas destes sabemos que 60 acertaram as três questões, 140 acertaram as questões 1 e 3 e 90 acertaram as questões 2 e 3. Assim, fazendo: 300 - 60 - 140 - 90 = 10. Logo, 10 alunos acertaram apenas a Questão 2.
Fique atento que, 200 alunos acertaram as questões 1 e 3. Mas, destes 60 acertaram as três questões, logo, 200 - 60 = 140. Assim, 140 alunos acertaram apenas as questões 1 e 3.
130 alunos acertaram as questões 1 e 2, destes 60 acertaram as três questões. Logo, 130 - 60 = 70. Assim, 70 alunos acertaram apenas as questões 1 e 2.
150 alunos acertaram as questões 2 e 3, destes 60 acertaram as três questões. Logo, 150 - 60 = 90. Assim, 90 alunos acertaram apenas as questões 2 e 3.
Agora então podemos completar o diagrama.
Não acertaram nenhuma questão: 40
Fazendo a soma: 20 + 140 + 10 + 70 + 60 + 90 + 10 + 40 = 440. Concluímos então que 440 alunos fizeram a prova de Cálculo.
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Problema 2 - O meio de transporte utilizado
- 1⁄6 dos alunos entrevistados utilizam ônibus e metrô.
- 1⁄4 dos alunos entrevistados utilizam ônibus.
- 1⁄3 dos alunos entrevistados utilizam metrô.
Numa escola, foi feita uma pesquisa sobre o meio de transporte utilizado pelos alunos para ir à escola. Dos 300 alunos que responderam a pesquisa, concluiu-se que:
Pergunta:Quantos alunos não utilizam nenhum dos transportes (ônibus ou metrô)?
Solução:
Sabemos que 1⁄4 dos alunos utilizam ônibus, mas destes 1⁄6 utilizam ônibus e metrô. Assim, fazendo: 1⁄4 - 1⁄6 = 2⁄24 = 1⁄12, obtemos que 1⁄12 dos entrevistados utilizam apenas ônibus.
1⁄3 dos alunos utilizam metrô, mas destes 1⁄6 utilizam ônibus e metrô. Assim, fazendo: 1⁄3 - 1⁄6 = 3⁄18 = 1⁄6, obtemos que 1⁄6 utilizam apenas metrô.
Utilizando a representação por meio do Diagrama de Venn, obtemos:
Não utilizam nenhum dos transportes (ônibus ou metrô).
Queremos descobrir a quantidade de alunos entrevistados que não utilizam nenhum dos transportes. Para tanto, vamos representar essa fração por x. Sabemos que:
1⁄12 + 1⁄6 + 1⁄6 + x = 1
x = 1 - 1⁄12 - 1⁄6 - 1⁄6 = 1 - 5⁄12 = 7⁄12
Assim, 7⁄12 dos 300 entrevistados não utilizam nem ônibus nem metrô. Como temos: 7⁄12 de 300 igual a 175, concluímos que esta é a quantidade de alunos entrevistados que não utilizam nenhum dos transportes.
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As aplicações do Diagrama de Venn não se restringem aos casos com dois ou três conjuntos. Para problemas mais complexos, pode-se utilizar até mesmo 5 conjuntos. Veja abaixo uma forma de representar um Diagrama de Venn com 4 e 5 conjuntos, respectivamente.
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Duas formas diferentes para representar o Diagrama de Venn com 4 conjuntos.
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Diagrama de Venn com 5 conjuntos.
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Localize no Diagrama de Venn:
Exemplo, você se encontra apenas no conjunto dos que estiveram na Terra, mas sem interseção com nenhum outro grupo - (a menos que você seja um astronauta!):
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- A) Yuri Gagarin, cosmonauta russo, foi o primeiro homem a ir ao espaço.
- B) Neil Armstrong foi um dos primeiros homens a pisar em solo lunar.
- C) A Mars Pathfinder foi a primeira “rover” a pousar em Marte, em 1993.
- D) A sonda Voyager 1 foi a primeira construção humana a atingir o espaço exterior ao nosso sistema solar.
- E) Cometa Halley passou perto da Terra, pela última vez, em 1986.
Referência bibliográfica:
OBMEP. Diagrama de Venn: problemas de raciocínio lógico. Disponível em: http://clubes.obmep.org.br/blog/diagrama-de-venn-problemas-de-raciocinio-logico/. Acesso em: 18 dez. 2020.