MÉDIA , MEDIANA E MODA
Seção 1 - O que são medidas de tendência central?
Em Estatística, tabelas, gráficos e medidas são elementos essenciais, uma vez que eles nos ajudam a obter informações sobre um conjunto de dados e permitem fazer inferências por meio de análises. Suponha que temos um conjunto de dados e queremos valores que representem, de alguma forma, o todo do conjunto caracterizando-o. Esses valores são chamados de medidas de tendência central, as quais você conhecerá a seguir.
Seção 2 - Quais são as principais medidas de tendência central?
É uma das medidas mais utilizadas no dia a dia. Na média aritmética, calcula-se fazendo a soma dos valores de \(x_i\), onde \(i=1, ..., n\), e dividindo pelo número total de valores \(n\).
\[\overline{x} = \frac{x_1 + ... + x_n}{n} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\]
Por exemplo: vamos determinar a média dos números \(7, 9, 3, 4, 2, 1\).
\[n=6 \text{ e } \frac{7+9+3+4+2+1}{6} = 4.3\]
A mediana de um conjunto finito de dados indica exatamente o valor central desse conjunto e pode ser encontrada através da organização dos números em ordem crescente ou decrescente.
Conjunto com número ímpar de elementos:
Se houver um número ímpar de elementos, o número que ocupa a posição \(\frac{n+1}{2}\)será a mediana do conjunto, por exemplo:
Para encontrarmos a mediana do seguinte conjunto de dados com 5 (ímpar) elementos:
\[5, 7, 2, 1, 9\]
1º Ordenamos: \(1, 2, 5, 7, 9\).
A mediana é o número que ocupa a posição \(\frac{5+1}{2}=3\), que é o \(5\). Portanto, a mediana desse conjunto de números é igual a 5.
Mas, e se tivermos um conjunto de dados com um número par de elementos? Como calculamos a mediana?
Conjunto com número par de elementos:
Neste caso, a mediana é calculada pela média dos valores que ocupam as posições centrais \(\frac{n}{2}\) e \(\frac{n}{2}+1\). Por exemplo, no conjunto com 6 (par) elementos a seguir: \(3, 1, 5, 2, 8, 7\).
1º Ordenamos: \(1, 2, 3, 5, 7 \text{ e } 8\).
Encontramos os valores que ocupam as posições \(\frac{6}{2}=3\) e \(\frac{6}{2}+1=4\), que são 3 e 5, respectivamente. Calculando a média desses números, obtemos: \(\frac{3+5}{2}=4\) e, portanto, a mediana é igual a 4. Note que nem sempre a mediana faz parte do conjunto inicial de dados.
Em síntese, para calcular a mediana de um conjunto de dados:
- Organize os valores do conjunto de dados em ordem crescente ou decrescente;
- Se a quantidade de valores do conjunto for ímpar, a mediana é o valor central;
- Se a quantidade de valores do conjunto for par, é preciso tirar a média aritmética dos valores centrais.
A Moda, como o próprio nome pode sugerir, é o valor que ocorre com mais frequência num conjunto de dados. Veja os seguintes exemplos:
\(1, 6, 10, 20, 20, 4, 7\) o valor que aparece mais vezes é o 20, sendo ele então a moda do conjunto.
\(1, 4, 4, 3, 2, 2, 5\) aqui há dois valores que aparecem duas vezes, o 4 e o 2. Nesse caso, ambos são moda e, portanto, o conjunto é chamado de bimodal. Há conjuntos que podem possuir mais do que duas modas, sendo então chamados de multimodais.
Mas, e no caso do seguinte conjunto de números: \(1, 3, 5, 7, 9\)? Nesse caso, não há moda e ele é chamado de amodal.
Atenção: A moda pode não existir, por exemplo, em casos em que todos os elementos de um conjunto de dados ocorrem com a mesma frequência. Veja o caso do conjunto 2, 2, 5, 5, 9, 9, o qual não possui moda, sendo então amodal.
Seção 3 - Vamos calcular?
Insira aqui um conjunto de dados (não precisa estar ordenado) para o cálculo de Média, Mediana e Moda.
Seção 4 - Saiba mais
Você sabia que nas competições de nado sincronizado os jurados atribuem notas de 0 a 10 para as equipes, mas, para o cálculo da nota final, que é dado pela soma de todas as notas, descartam a pior e a melhor nota? Pois é, esses valores são chamados “discrepantes” e, quando precisamos de uma medida que melhor represente o conjunto de dados, podem tornar a média não adequada para representá-lo. Observe o exemplo:
\[9, 5.6, 5.7, 5.9, 10, 5\]
Para esse conjunto de dados, a média é 6,9, que é maior do que a maior parte dos números que temos no conjunto. Ou seja, nesse caso, a média não é a medida de tendência central mais adequada para representá-lo. Isso ocorreu justamente pelos valores discrepantes, como 9 e 10.
Entender qual das medidas de tendência central é mais adequada é crucial para a tomada de decisões. Imagine que o dono de uma loja de sapatos masculinos precise escolher as numerações de sapatos para adicionar a seu estoque, considerando que seus clientes costumam comprar com mais frequência a numeração 40. Nesse caso, ele escolheria mais sapatos com essa numeração, que é a moda do conjunto de dados “números que os clientes calçam”. Pense no quanto poderia ser um prejuízo para ele estocar sapatos que não seriam comprados por conta da numeração.
Seção 5 - Me vê uma média?
Já mostramos como se calcula uma média aritmética, mas você sabia que existem diferentes tipos de média? Temos também a média geométrica, a harmônica e a ponderada.
Vamos ver um exemplo? Suponha que sua nota final é calculada com base nas notas de quatro provas, com valor de 0 a 10. Digamos que suas notas sejam:
\(N1=9,0\)
\(N2=6,0\)
\(N3=8,0\)
\(N4=5,0\)
E que, para passar para o próximo nível, você deve ter média superior ou igual a 7,0.
Pela média aritmética, sua nota final será:
\[NF=\frac{N1+N2+N3+N4}{4}=9+6+8+5=284=7\]
Ou seja, você foi aprovado! :)
Pela média geométrica, sua nota será dada por:
\[NF=\sqrt[4]{9.6.8.5}=6,82\]
Na média harmônica, sua nota final será:
\[NF = \frac{4}{\displaystyle\frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{5}} = 6,63\]
Finalmente, suponha que as provas tenham peso progressivo, ou seja, peso 1 para a prova 1, 2 para a 2, 3 para a 3 e 4 para a 4. Pela média ponderada, sua nota final seria:
\[NF = \frac{1.9 + 2.6 + 3.8 + 4.5}{10} = 6,5\]
Agora, que tal encontrar a nota mínima que você teria que tirar na última prova para ser aprovado pelas médias geométrica, harmônica e ponderada?
Que tal você inserir um conjunto de dados e verificar a diferença entre as médias?
Insira aqui um conjunto de dados (não precisa estar ordenado) para o cálculo das médias aritmética, geométrica e harmônica:
Caso queira calcular a média ponderada, indique abaixo os valores e seus respectivos pesos (inclusive se for peso 1 para algum deles):
Fórmulas para o cálculo das médias aritmética, harmônica, geométrica e ponderada
Na média aritmética, calcula-se fazendo a soma dos valores de \(x_i\), onde \(i=1,\dots, n\), e dividindo pelo número total de valores \(n\).
\[\overline{x} = \frac{x_1+\dots+x_n}{n}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\]
É calculada fazendo a razão entre o número de elementos e a soma dos inversos desses elementos. Sejam \(x_1, x_2, \dots x_n\) números reais positivos. A média harmônica é dada por:
\[\overline{h} = \frac{n}{\displaystyle\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}}\]
A média geométrica de um conjunto de números positivos é definida como o produto de todos os membros do conjunto elevado ao inverso do número de membros. Sejam \(x_1, x_2, \dots x_n\) números reais positivos pertencentes ao conjunto. A média geométrica é dada por:
\[\overline{g} = \sqrt[n]{x_1.x_2\dots x_n}\]