APRESENTAÇÃO
Você sabe o que é geometria?
Geometria significa medição da terra. Segundo estudos, a geometria surgiu da necessidade de povos antigos em medir, sendo necessária para o trabalho de artesões, carpinteiros, pedreiros etc. Logo, 1000 anos a.C. já havia conhecimentos de geometria, apesar de naquele contexto não serem chamados de geometria.
Muito provavelmente, quando você pensa em geometria lembra do que aprendeu no ensino básico, médio e superior com os estudos de geometria plana, geometria espacial e geometria analítica, certo?
Muito provavelmente, quando você pensa em geometria lembra do que aprendeu no ensino básico, médio e superior com os estudos de geometria plana, geometria espacial e geometria analítica, certo? Bom, todos esses estudos estão centrados no que se chama hoje de geometria euclidiana, nome dado em homenagem ao matemático grego Euclides, considerado o pai da geometria.
Bom, todos esses estudos estão centrados no que se chama hoje de geometria euclidiana, nome dado em homenagem ao matemático grego Euclides, considerado o pai da geometria.
Muito provavelmente, quando você pensa em geometria lembra do que aprendeu no ensino básico, médio e superior com os estudos de geometria plana, geometria espacial e geometria analítica, certo? Bom, todos esses estudos estão centrados no que se chama hoje de geometria euclidiana, nome dado em homenagem ao matemático grego Euclides, considerado o pai da geometria.
Agora, veja a seguinte imagem, nela há duas retas, m e n, paralelas entre si e perpendiculares ao eixo y :
Nesta imagem há um triângulo ABC com soma de ângulos internos menor que 180º:
Curioso, não? Bem diferente dos conceitos aprendidos sobre retas e triângulos da geometria euclidiana. Esses são somente alguns exemplos do que se pode ver no contexto das geometrias não euclidianas.
COMECE A EXPLORAR!
CONTEXTO HISTÓRICO
O livro Os elementos é originalmente composto por 13 livros. Nele são demonstradas 465 proposições. Tornou-se um livro importante por ser inédito até então, com o seu desenvolvendo lógico trazendo uma geometria axiomática.
A imagem ao lado é da tradução direta do grego antigo para português do professor Irineu Bicudo.
O livro Os elementos é originalmente composto por 13 livros. Nele são demonstradas 465 proposições. Tornou-se um livro importante por ser inédito até então, com o seu desenvolvendo lógico trazendo uma geometria axiomática.
A imagem acima é da tradução direta do grego antigo para português do professor Irineu Bicudo.
A imagem acima é da tradução direta do grego antigo para português do professor Irineu Bicudo.
Nesse livro Euclides desenvolve, a partir de 5 axiomas e 5 postulados — tidos como princípios básicos —, proposições e teoremas importantes para a construção da geometria.
Para saber!
- Axiomas (ou noções comuns) são verdades óbvias que, portanto, não precisam ser provadas.
- Postulados são verdades que são assumidas como verdadeiras sem prova.
É a partir deles que Euclides conseguiu demonstrar/deduzir as proposições e os teoremas que desenvolveu.
Em especial, o 5º postulado de Euclides, conhecido também como “postulado das paralelas”, chamou a atenção dos matemáticos tempos depois, pois algo que deveria ser intuitivo, como os demais axiomas e postulados básicos, não era; este postulado não era sucinto e nada trivial.
Veja uma tradução atual desses postulados:
1º Postulado
Pode-se traçar uma única reta ligando dois pontos distintos.
2º Postulado
Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente.
3º Postulado
Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
4º Postulado
Todos os ângulos retos são iguais.
5º Postulado
Se uma reta secante a duas outras formam ângulos, de um mesmo lado dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas, se prolongadas suficientemente, irão se encontrar em um ponto desse mesmo lado.
Em outras palavras:
Por um ponto P exterior a uma reta r dada, existe uma única reta s paralela à reta r.
Em outras palavras:
Por um ponto P exterior a uma reta r dada, existe uma única reta s paralela à reta r.
Muitos matemáticos tentavam provar o postulado das paralelas defendendo que na verdade não era um postulado e sim um teorema.
Uma das formas que mais teve resultados foi a tentativa de provar que a negativa do 5º postulado resultava em um absurdo.
Para saber!
A prova por absurdo é utilizada quando há duas possibilidades de uma afirmativa que se deseja provar, a afirmativa ou negação da afirmativa.
A estratégia é tentar provar a negativa da afirmação e chegar em um absurdo, logo, indiretamente, a afirmativa é provada.
Para isso, existem duas formas de negar o postulado das paralelas. Veja:
Clique nos itens para vê-los:
Surpreendentemente, ao invés de chegar em absurdos, essa lógica de demonstração, assumindo a veracidade da negação 1 e da negação 2, obteve resultados consistentes e que em nada contradiziam os outros axiomas e postulados básicos de Euclides.
Veja alguns desses resultados:
Clique nos itens para vê-los:
Soma dos ângulos internos de um triângulo igual a 180º
Soma dos ângulos de um quadrilátero igual a 360º
Curvatura igual a 0
Soma dos ângulos internos de um triângulo menor que 180º
Soma dos ângulos de um quadrilátero menor que 360º
Curvatura menor que 0
Soma dos ângulos internos de um triângulo maior que 180º
Soma dos ângulos de um quadrilátero maior que 360º
Curvatura maior que 0
Não foi possível provar o 5º postulado.
Ao invés disso, foi proposto que as novas formulações (negativa 1 e negativa 2) eram também válidas, e a partir dessa premissa surgiu o desenvolvimento de outras geometrias tão consistentes quanto a geometria euclidiana, as geometrias não euclidianas.
Para saber!
Curvatura
Imagine uma superfície que está totalmente contida em um plano, essa seria uma superfície de curvatura igual a 0
Curvaturas maiores ou menores que zero indicam que a superfície tem “elevação acima ou abaixo” do plano, podendo ser, por exemplo, côncava ou convexa. Essa é uma forma informal de visualizar a ideia.
A validade do quinto postulado na verdade depende da superfície geométrica que está sendo considerada.
GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS
Veja os principais exemplos de geometrias não euclidianas:
Geometria
Hiperbólica
A geometria hiperbólica é centrada em uma superfície de curvatura negativa, a “sela de cavalo”. Veja abaixo:
Veja alguns pontos em relação à geometria hiperbólica:
Um modelo de representação dessa geometria é o disco de Poincaré, proposta pelo matemático Henri Poincaré. Nele o plano é limitado por uma circunferência.
A imagem ao lado representa o postulado das paralelas nessa geometria.
Esta imagem representa um triângulo nessa geometria, cuja soma dos ângulos internos é menor que 180º.
Na imagem ao lado há uma aplicação da geometria hipérbolica em uma gravura feita pelo artista gráfico Mauritius C. Escher, que utilizou o disco de Poincaré para expressar sua arte.
As gravuras mostram como nós vemos o mundo hiperbólico desses peixes. Repare que quando um peixe se afasta do centro do disco, vemos seu tamanho encolher à medida que se aproxima do círculo limite.
Um modelo de representação dessa geometria é o disco de Poincaré, proposta pelo matemático Henri Poincaré. Nele o plano é limitado por uma circunferência.
A imagem acima representa o postulado das paralelas nessa geometria.
Esta imagem representa um triângulo nessa geometria, cuja soma dos ângulos internos é menor que 180º.
Na imagem acima há uma aplicação da geometria hipérbolica em uma gravura feita pelo artista gráfico Mauritius C. Escher, que utilizou o disco de Poincaré para expressar sua arte.
As gravuras mostram como nós vemos o mundo hiperbólico desses peixes. Repare que quando um peixe se afasta do centro do disco, vemos seu tamanho encolher à medida que se aproxima do círculo limite.
Geometria
Elíptica
A geometria elíptica é centrada em uma superfície de curvatura positiva.
Antes de prosseguir, pense na seguinte charada:
Partindo de um certo ponto da terra, um caçador andou 10 quilômetros para o sul, 10 quilômetros para o leste e 10 quilômetros para o norte, voltando ao ponto de partida. Ali encontrou um urso. De que cor era esse urso?
Se houvesse pensado na geometria elíptica, também conhecida como “geometria esférica”, desde o início da charada, seria bem mais fácil pensar em uma solução. Pois bem, a geometria elíptica é centrada em um plano esférico.
Veja alguns pontos em relação à geometria hipérbolica:
A imagem ao lado representa o postulado das paralelas (circunferências máximas) nessa geometria.
A imagem ao lado representa um triângulo nessa geometria, cuja soma dos ângulos internos é maior que 180º.
A geometria elíptica tem diversas aplicações, por exemplo na definição de trajetórias de navegações marítimas, rota de aviões, aplicações na astrofísica etc.
Pense na rota dos aviões, ao traçar a menor trajetória entre dois pontos, tem-se um segmento de círculo máximo, e não uma reta euclidiana.
As regularizações fundiárias, que hoje em dia exigem o georreferenciamento dos imóveis rurais, amarram a matrícula dos imóveis a um sistema de referência geocêntrico oficial.
No Brasil há o Sirgas 2000, com definição geométrica precisa e bem ancorada com um elipsoide, para obtenção de coordenadas geográficas.
A imagem acima representa o postulado das paralelas (circunferências máximas) nessa geometria.
A imagem acima representa um triângulo nessa geometria, cuja soma dos ângulos internos é maior que 180º.
A geometria elíptica tem diversas aplicações, por exemplo na definição de trajetórias de navegações marítimas, rota de aviões, aplicações na astrofísica etc.
Pense na rota dos aviões, ao traçar a menor trajetória entre dois pontos, tem-se um segmento de círculo máximo, e não uma reta euclidiana.
As regularizações fundiárias, que hoje em dia exigem o georreferenciamento dos imóveis rurais, amarram a matrícula dos imóveis a um sistema de referência geocêntrico oficial.
No Brasil há o Sirgas 2000, com definição geométrica precisa e bem ancorada com um elipsoide, para obtenção de coordenadas geográficas.
CONCLUSÃO
A descoberta da geometria não euclidiana abriu portas para reflexões, afinal, existem outras formas de ver o mundo que não a de Euclides.
Atualmente, sabe-se que há infinitas possibilidades de geometrias com quantas dimensões se queira, também há pesquisas complexas ativas que envolvem o tema e que buscam dimensionar tudo à volta, logo, essa história não termina aqui.