Vamos apresentar a ideia de inversa de uma função.

Considere a função \(f(x) = \sqrt{x-1}\), cujo gráfico consta aqui ao lado.

Observe que seu domínio é o intervalo \([1,+\infty[\) pois a raiz quadrada existe se e somente se \(x-1 \geq 0\), o que equivale a \(x \geq 1\). Seu conjunto imagem é \(\mathbb{R}_+ = [0,+\infty[\).

A função inversa de \(f\) será a função \(g\) que fará o "contrário" de \(f\), no sentido de que associará aos valores da imagem os valores correspondentes do domínio. Daí o nome "inversa". Para obtermos a função \(g\), primeiro destacamos os pontos - (1,0), (2,1), (5,2).

Você verá que a função \(g\) terá este comportamento em todos os pontos

Veja seu gráfico a seguir.

Para obter a fórmula da inversa, fazemos o seguinte:

De \(y = \sqrt{x-1}\) obtemos \(y^2 = x-1 \Leftrightarrow x = y^2+1\)

Observe o gráfico de \(g\) ao lado e veja que realmente é a parábola \(y=x^2+1\).

Assim, para obtermos a fórmula da inversa, isolamos o \(x\) em função do \(y\) na expressão da \(f\), e na hora de dar a resposta trocamos \(x\) por \(y\) e \(y\) por \(x\). Fazemos isso apenas por que é mais convencional expressar o \(y\) em função de \(x\).

Observando os gráficos ao lado, veja que o domínio da inversa é:

\[D(g) = \mathbb{R}_{+} = [0,+\infty[ = Im(f)\] e também \[Im(g) = [1,+\infty[ = D(f)\] Isto ocorre sempre.

Os gráficos de \(f\) e \(g\) são simétricos em relação à reta \(y=x\)(bissetriz dos quadrantes 1 e 3)

Em relação à notação, indicamos a inversa de \(f\) pelo símbolo \(f^{-1}\).

Agora que você já viu como se calcula a função inversa, seu desafio será associar pares de f e f-1, utilizando os gráficos e fórmulas correspondentes. Vamos lá?