Derivadas

Reta Tangente

Máximos e Mínimos

Reta Tangente

Variação da função $f(x)$ através de sua derivada, observando diferentes pontos do gráfico. Em cada ponto, é possível visualizar a construção da reta tangente ao gráfico.

Para qualquer função:

$f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ temos a propriedade:

a derivada da função $f$ em um ponto $c \in \mathbb{R}$ é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $c$ .

No gráfico interativo ao lado, vamos visualizar esta propriedade usando como exemplo a função em verde:

$f(x)=\frac{x^5}{2}-\frac{5x^3}{2}+2x$

Em veja a reta tangente no ponto $c$ :

$y_c=f'(c)\cdot x + f(c) - f'(c) \cdot c$ Variando o valor de

$c$ , observe que:

Quando $f$ está descrescendo $f'(c) < 0$
Quando $f$ está crescendo $f'(c) > 0$

Como explorar o gráfico?
Para melhor entendimento, você pode variar o valor de $c$ usando o slider, sendo $-2 \leq c \leq 2$ ou utilizar o botão "fazer automaticamente" para acompanhar a variação de $c$ .

Máximos e Mínimos

Observe o crescimento e o decrescimento de $f(x)$ acompanhando seus mínimos e máximos locais, através do estudo da variação de sua derivada $f'(x)$ .

Como explorar o gráfico?
Você pode variar o valor de $x$ no intervalo $0 \leq x \leq \frac{7\pi}{2}$ , adicionando ou subtraindo $\pi$ . Para isso use os botões $<$ e $>$ .

$f(x) = sen(x)$

$f'(x) = cos(x)$

Para uma função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ contínua e derivável, quando sua derivada troca de sinal positivo para negativo, $f(x)$ atinge seu valor de máximo local, passando de crescente para decrescente $(1)$ . Já quando a troca é de positivo para negativo, $f(x)$ atinge seu valor mínimo local e passa de decrescente para crescente $(2)$ . Matematicamente, temos:

$(1)$

$\boxed{ x < a \,\text{ e }\, f'(a) > 0 \\ x = a \,\text{ e }\, f'(a) = 0 \\ x > a \,\text{ e }\, f'(a) < 0 }$

$\Longrightarrow$

$\begin{cases} f(a)\text{ é máximo local}\\ f \,\text{ passa de crescente para decrescente} \end{cases}$

$(2)$

$\boxed{ x < a \,\text{ e }\, f'(a) < 0 \\ x = a \,\text{ e }\, f'(a) = 0 \\ x > a \,\text{ e }\, f'(a) > 0 }$

$\Longrightarrow$

$\begin{cases} f(a)\text{ é mínimo local}\\ f \,\text{ passa de decrescente para crescente} \end{cases}$

Para visualização destas propriedades, vamos estudar a variação da função $f(x)=sen(x)$ , no intervalo $0 \leq x \leq \frac{7\pi}{2}$

$x=\frac{\pi}{2}$ No intervalo de $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ , $f(x)$ era crescente e $f'(x)$ assumia valores positivos. Quando $x$ passa por $\frac{\pi}{2}$ , $f'(x)$ troca de sinal de positivo para negativo e, por isto, $f(x)$ atinge um máximo local $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = sen\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ e passa a ser decrescente.

$x=\frac{3\pi}{2}$ No intervalo anterior $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2}$ , $f(x)$ era decrescente e $f'(x)$ assumia valores negativos. Quando $x$ passa por $\frac{3\pi}{2}$ , $f'(x)$ troca de sinal de negativo para positivo e, por isto, $f(x)$ atinge um mínimo local $f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = sen\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1$ e passa a ser crescente.

$x = \frac{5\pi}{2}$ No intervalo anterior $\frac{3\pi}{2} \leq x \leq \frac{5\pi}{2}$ , $f(x)$ era crescente e $f'(x)$ assumia valores positivos. Quando $x$ passa por $\frac{5\pi}{2}$ , $f'(x)$ troca de sinal de positivo para negativo e, por isto, $f(x)$ atinge um máximo local $f\left(\frac{5\pi}{2}\right) = sen\left(\frac{5\pi}{2}\right)=1$ e passa a ser decrescente.

$x = \frac{7\pi}{2}$ No intervalo anterior $\frac{5\pi}{2} \leq x \leq \frac{7\pi}{2}$ , $f(x)$ era decrescente e $f'(x)$ assumia valores negativos. Quando $x$ passa por $\frac{7\pi}{2}$ , $f'(x)$ troca de sinal de negativo para positivo e, por isto, $f(x)$ atinge um mínimo local $f\left(\frac{7\pi}{2}\right) = sen\left(\frac{7\pi}{2}\right)=-1$ e passa a ser crescente.

Derivadas

Reta Tangente

Variação da função f(x)f(x) através de sua derivada, observando diferentes pontos do gráfico. Em cada ponto, é possível visualizar a construção da reta tangente ao gráfico.

Máximos e Mínimos

Observe o crescimento e o decrescimento de f(x)f(x) acompanhando seus mínimos e máximos locais, através do estudo da variação de sua derivada f′(x)f'(x).

f(x)=sen(x)f(x) = sen(x)

f′(x)=cos(x)f'(x) = cos(x)

Variação da função $f(x)$ através de sua derivada, observando diferentes pontos do gráfico. Em cada ponto, é possível visualizar a construção da reta tangente ao gráfico.

Observe o crescimento e o decrescimento de $f(x)$ acompanhando seus mínimos e máximos locais, através do estudo da variação de sua derivada $f'(x)$ .

$f(x) = sen(x)$

$f'(x) = cos(x)$