Derivadas
Reta Tangente
Variação da função \(f(x)\) através de sua derivada, observando diferentes pontos do gráfico. Em cada ponto, é possível visualizar a construção da reta tangente ao gráfico.
Para qualquer função: \[f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\] temos a propriedade:
a derivada da função \(f\) em um ponto \(c \in \mathbb{R}\) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(c\).
No gráfico interativo ao lado, vamos visualizar esta propriedade usando como exemplo a função em verde: \[f(x)=\frac{x^5}{2}-\frac{5x^3}{2}+2x\]
Em vermelho veja a reta tangente no ponto \(c\): \[y_c=f'(c)\cdot x + f(c) - f'(c) \cdot c\]
Variando o valor de \(c\), observe que:
- Quando \(f\) está descrescendo \(f'(c) < 0\)
- Quando \(f\) está crescendo \(f'(c) > 0\)
Como explorar o gráfico?
Para melhor entendimento, você pode variar o valor de \(c\) usando o slider, sendo \(-2 \leq c \leq 2\) ou utilizar o botão "fazer automaticamente" para acompanhar a variação de \(c\).
Máximos e Mínimos
Observe o crescimento e o decrescimento de \(f(x)\) acompanhando seus mínimos e máximos locais, através do estudo da variação de sua derivada \(f'(x)\).
Como explorar o gráfico?
Você pode variar o valor de \( x \) no intervalo \( 0 \leq x \leq \frac{7\pi}{2}\), adicionando ou subtraindo \(\pi\). Para isso use os botões \( < \) e \( > \).
\(f(x) = sen(x)\)
\(f'(x) = cos(x)\)
Para uma função \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) contínua e derivável, quando sua derivada troca de sinal positivo para negativo, \( f(x) \) atinge seu valor de máximo local, passando de crescente para decrescente \( (1) \). Já quando a troca é de positivo para negativo, \(f(x)\) atinge seu valor mínimo local e passa de decrescente para crescente \( (2)\). Matematicamente, temos:
\[ (1) \]
\[ \boxed{ x < a \,\text{ e }\, f'(a) > 0 \\ x = a \,\text{ e }\, f'(a) = 0 \\ x > a \,\text{ e }\, f'(a) < 0 } \]
\[ \Longrightarrow \]
\[ \begin{cases} f(a)\text{ é máximo local}\\ f \,\text{ passa de crescente para decrescente} \end{cases} \]
\[ (2) \]
\[ \boxed{ x < a \,\text{ e }\, f'(a) < 0 \\ x = a \,\text{ e }\, f'(a) = 0 \\ x > a \,\text{ e }\, f'(a) > 0 } \]
\[ \Longrightarrow \]
\[ \begin{cases} f(a)\text{ é mínimo local}\\ f \,\text{ passa de decrescente para crescente} \end{cases} \]
Para visualização destas propriedades, vamos estudar a variação da função \(f(x)=sen(x)\), no intervalo \( 0 \leq x \leq \frac{7\pi}{2} \)
\[ x=\frac{\pi}{2} \] No intervalo de \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \), \( f(x) \) era crescente e \( f'(x) \) assumia valores positivos. Quando \( x \) passa por \( \frac{\pi}{2} \), \( f'(x) \) troca de sinal de positivo para negativo e, por isto, \( f(x) \) atinge um máximo local \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = sen\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \) e passa a ser decrescente.
\[ x=\frac{3\pi}{2}\] No intervalo anterior \( \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \), \( f(x) \) era decrescente e \( f'(x) \) assumia valores negativos. Quando \( x \) passa por \( \frac{3\pi}{2} \), \( f'(x) \) troca de sinal de negativo para positivo e, por isto, \( f(x) \) atinge um mínimo local \( f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = sen\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1\) e passa a ser crescente.
\[x = \frac{5\pi}{2}\] No intervalo anterior \(\frac{3\pi}{2} \leq x \leq \frac{5\pi}{2}\), \(f(x)\) era crescente e \(f'(x)\) assumia valores positivos. Quando \( x \) passa por \( \frac{5\pi}{2} \), \(f'(x)\) troca de sinal de positivo para negativo e, por isto, \(f(x)\) atinge um máximo local \(f\left(\frac{5\pi}{2}\right) = sen\left(\frac{5\pi}{2}\right)=1 \)e passa a ser decrescente.
\[x = \frac{7\pi}{2}\] No intervalo anterior \( \frac{5\pi}{2} \leq x \leq \frac{7\pi}{2} \), \( f(x) \) era decrescente e \( f'(x) \) assumia valores negativos. Quando \(x \) passa por \(\frac{7\pi}{2}\), \(f'(x)\) troca de sinal de negativo para positivo e, por isto, \( f(x)\) atinge um mínimo local \( f\left(\frac{7\pi}{2}\right) = sen\left(\frac{7\pi}{2}\right)=-1 \) e passa a ser crescente.